丘成桐：数学和中国文学的比较

数学和中国文学的比较

　　丘成桐

　　二零零五年六月二十四日

　　很多人会觉得我今日的讲题有些奇怪，中国文学与数学好象是风马牛不相及，
但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其它数学家有同样的感觉，
“如人饮水，冷暖自知”。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育有莫
大的关系。我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数学，所
以将他们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。

　　中国古代文学记载最早的是诗三百篇，有风雅颂，既有民间抒情之歌，朝廷
礼仪之作，也有歌颂或讽刺当政者之曲。至孔子时，文学为君子立德和陶冶民风
而服务。战国时，诸子百家都有著述，在文学上有重要的贡献，但是诸子如韩非
却轻视文学之士。屈原开千古辞赋之先河，毕生之志却在楚国的复兴。文学本身
在古代社会没有占据到重要的地位。司马迁甚至说：“文史、星历，近乎卜祝之
间，固主上所戏弄，倡优畜之，流俗之所轻也。”一直到曹丕才全面肯定文学本
身的重要性：“盖文章，经国之大业，不朽之盛事。”即使如此，曹丕的弟弟曹
植却不以为文学能与治国的重要性相比。他写信给他的朋友杨修说：

　　“吾虽德薄，位为蕃侯，犹几戮力上国，流惠下民，建永世之业，留金石之
功。岂徒以翰墨为勋绩，辞赋为君子哉。”

　　至于数学，中国儒家将它放在六艺之末，是一个辅助性的学问。当政者更视
之为雕虫小技，与文学比较，连歌颂朝廷的能力都没有，政府对数学的尊重要到
近年来才有极大的改进。西方则不然，希腊哲人以数学为万学之基。帕拉图以通
几何为入其门槛之先决条件，所以数学家得到崇高地位，在西方蓬勃发展了两千
多年。

　　一、数学之基本意义

　　数学之为学，有其独特之处，它本身是寻求自然界真相的一门科学，但数学
家也如文学家般天马行空，凭爱好而创作，故此数学可说是人文科学和自然科学
的桥梁。

　　数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，用数学的方法
表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛，我们认为数字、几何
图形和各种有意义的规律都是自然界的一部份，我们希望用简洁的数学语言将这
些自然现象的本质表现出来。

　　数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论证的逻辑方法推导出来，
但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部份数学著作枯燥乏味，而有些却
令人叹为观止，其中的分别在那里？

　　大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种
感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养
有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性
的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为副，但是深厚的人文知识
也极为要紧，因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写史
记除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。

　　刘勰在文心雕龙．原道篇说文章之道在于：

　　“写天地之辉光，晓生民之耳目。”

　　刘勰以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。他又说：

　　“人与天地相参，乃性灵所集聚，是以谓之三才，为五行之秀气，实天地之
灵气。灵心既生，于是语言以立。语言既立，于是文章着明，此亦原于自然之道
也。”

　　文心雕龙．风骨：

　　“诗总六义，风冠其首，斯乃化感之本源，志气之符契也。”

　　历代的大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，
即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的
现象而引起的。

　　近代几何学的创始人高斯认为几何和物理不可分，他说：“我越来越确信几
何的必然性无法被验证，至少现在无法被人类或为了人类而验证，我们或许能在
未来领悟到那无法知晓的空间的本质。我们无法把几何和纯粹是先验的算术归为
一类，几何和力学却不可分割。”

　　二十世纪几何学的发展，则因物理学上重要的突破而屡次改变其航道。当狄
拉克把狭义相对论用到量子化的电子运动理论时，发现了狄拉克方程，以后的发
展连狄拉克本人也叹为观止，认为他的方程比他的想象来得美妙，这个方程在近
代几何的发展起着关键性的贡献，我们对旋子的描述缺乏直观的几何感觉，但它
出于自然，自然界赋予几何的威力可说是无微不至。

　　广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因
为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷
惘，时而兴奋，自觉同诗经、楚辞的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为
一体，自得其趣。

　　捕捉大自然的真和美，实远胜于一切人为的造作，正如文心雕龙说的：

　　“云霞雕色，有逾画工之妙。草木菁华，无待锦匠之奇，夫岂外饰，盖自然
耳。”

　　在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，
它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其它几何学家都不相信它存在，我却锲
而不舍，不分昼夜地去研究它，就如屈原所说：

　　“亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。”

　　我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学
上的重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：

　　“落花人独立，微雨燕双飞。”

　　以后大批的弦理论学家参与研究这个结构，得出很多深入的结果。刚开始时，
我的朋友们都对这类问题敬而远之，不愿意与物理学家打交道。但我深信造化不
致弄人，回顾十多年来在这方面的研究尚算满意，现在卡拉比－丘空间的理论已
经成为数学的一支主流。

　　二、数学的文采

　　数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则，甚至在自
然界中发挥作用，这是数学优雅美丽的地方。我的老师陈省身先生创作的陈氏类，
就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为
物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采
菊东蓠下，悠然见南山”的意境。

　　从欧氏几何的公理化、到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积
分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以
简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与
文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。

　　数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格，例
如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对
称群，使伽罗华群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五
言诗的始祖苏(武)李(陵)唱和诗和词的始祖李太白的忆秦娥。

　　三、数学中的赋比兴

　　中国诗词都讲究比兴，钟爃在“诗品”中说：

　　“文已尽而意有余，兴也。因物喻志，比也。”

　　刘勰在文心雕龙中说：

　　“故比者，附也。兴者，起也。附理者切类以指事，起情者依微以拟议。起
情故兴体以立，附理故比例以生。”

　　白居易：

　　“噫，风雪花草之物《三百篇》中岂含之乎？顾所用何如耳，设如北风其凉，
假风以刺威虐也，雨雪霏霏，因雪以愍征役也……比兴发于此而义归于彼。”

　　他批评谢朓诗“‘余霞散成绮，澄江净如练。’丽则丽矣，吾不知其所讽焉，
故仆所谓嘲风雪，弄花草而已，文意尽去矣。”

　　有深度的文学作品必需要有“义”、有“讽”、有“比兴”。数学亦如是。
我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自
然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定。

　　文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界，例如贾岛只追
究“僧推月下门”或是“僧敲月下门”的意境，而不在乎所说的是不同的事实。
数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，
就可以尽情的发挥想象力，然而文章终究有高下之分。大致来说，好的文章“比
兴”的手法总会比较丰富。

　　中国古诗十九首，作者年代不详，但大家都认为是汉代的作品。刘勰说：
“比采而推，两汉之作乎。”这是从诗的结构和风格进行推敲而得出的结论。在
数学的研究过程中，我们亦利用比的方法去寻找真理。我们创造新的方向时，不
必凭实验，而是凭数学的文化涵养去猜测去求证。

　　举例而言，三十年前我提出一个猜测，断言三维球面里的光滑极小曲面，其
第一特征值等于二。当时这些曲面例子不多，只是凭直觉，利用相关情况模拟而
得出的猜测，最近有数学家写了一篇文章证明这个猜想。其实我的看法与文学上
的比兴很相似。

　　我们看洛神赋：

　　“翩若惊鸿，婉若游龙。荣曜秋菊，华茂春松。仿彿兮若轻云之蔽月，飘飘
兮若流风之回雪。”

　　由比喻来刻划女神的体态，又看诗经：

　　“高山仰止，景行行止。四牡騑騑，六辔如琴，靓尔新婚，以慰我心。”

　　也是用比的方法来描写新婚的心情。

　　我一方面想象三维球的极小子曲面应当是如何的匀称，一方面想象第一谱函
数能够同空间的线性函数比较该有多妙，通过原点的平面将曲面最多切成两块，
于是猜想这两个函数应当相等，同时第一特征值等于二。

　　当时我与卡拉比教授讨论这个问题，他也相信这个猜测是对的。旁边我的一
位研究生问为甚么会做这样的猜测，不待我回答，卡教授便微笑说这就是洞察力
了。

　　数学上常见的对比方法乃是低维空间和高维空间现象的对比。我们虽然看不
到高维空间的事物，但可以看到一维或二维的现象，并由此来推测高维的变化。
我在做研究生时企图将二维空间的单值化原理推广到高维空间，得到一些漂亮的
猜测，我认为曲率的正或负可以作为复结构的指向，这个看法影响至今，可以溯
源到十九世纪和二十世纪初期曲率和保角映像关系的研究。

　　另外一个对比的方法乃是数学不同分枝的比较，记得我从前用爱氏结构证明
代数几何中一个重要不等式时，日本数学家Miyaoka利用俄国数学家 Bogomolov
的代数稳定性理论也给出这个不等式的不同证明，因此我深信爱氏结构和流形的
代数稳定有密切的关系，这三十年来的发展也确是朝这个方向蓬勃地进行。

　　事实上，爱因斯坦的广义相对论也是对比各种不同的学问而创造成功的，它
是科学史上最伟大的构思，可以说是惊天地而泣鬼神的工作。它统一了古典的引
力理论和狭义相对论。爱氏花了十年功夫，基于等价原理，比较了各种描述引力
场的方法，巧妙地用几何张量来表达了引力场，将时空观念全盘翻新。

爱氏所用的工具是黎曼几何，乃是黎曼比他早五十年前发展出来的，当时的
几何学家唯一的工具是对比，在古典微积分、双曲几何和流形理论的模拟后得出
来的漂亮理论。

[1] [2] [3] 下一页